一维无限深势阱是量子力学中最重要的基础模型，清晰展示了能量量子化、零点能和概率波三大特征。粒子被限制在 $0\le x\le a$ 内，势能为 $V(x)=0$（阱内）和 $V(x)=\infty$（阱外），需求解定态薛定谔方程 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x) $$ 阱外波函数为零，阱内方程简化为 $\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0$，其中 $k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$，通解为 $\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$。由边界条件 $\psi(0)=0$ 得 $B=0$，由 $\psi(a)=0$ 得 $ka=n\pi$（$n=1,2,3,\dots$），从而得到量子化能级 $$ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} $$ 归一化后波函数为 $$ \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) $$ 文中还给出综合例题：电子处于叠加态 $\Psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{5}}\psi_1(x)+\frac{2}{\sqrt{5}}\psi_3(x)$，随时间演化为 $$ \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+\frac{2}{\sqrt{5}}\psi_3(x)e^{-iE_3t/\hbar} $$ 测量能量只能得到 $E_1$ 或 $E_3$，概率分别为 $1/5$ 和 $4/5$，且不随时间改变；能量期望值为 $$ \langle E\rangle=\frac{1}{5}E_1+\frac{4}{5}E_3=\frac{37}{5}E_1=\frac{37\pi^2\hbar^2}{10ma^2} $$ 该期望值同样守恒。

对易关系是量子力学中衡量算符操作顺序差异的核心代数结构，对易子定义为 $$ [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} $$ 若 $[\hat{A},\hat{B}]=0$，则两算符对易，对应物理量相容，可同时精确测量并共享共同本征函数；若 $[\hat{A},\hat{B}]\neq0$，则两算符不对易，对应物理量不相容，不能同时精确测量，测量其中一个必然扰乱另一个。不对易直接导致不确定性原理，通用形式为 $$ (\Delta A)^2(\Delta B)^2\ge\left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\right)^2 $$ 位置与动量满足 $[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar$，故有 $$ \Delta x\cdot\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2} $$ 重要对易关系还包括角动量分量 $[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z$、角动量平方与分量 $[\hat{L}^2,\hat{L}_i]=0$、自旋分量 $[\hat{S}_x,\hat{S}_y]=i\hbar\hat{S}_z$ 以及轨道与自旋 $[\hat{L}_i,\hat{S}_j]=0$。文中还通过例题证明 $[\hat{L}_z,\hat{\rho}^2]=0$，即角动量 $z$ 分量与粒子到 $z$ 轴距离的平方相容，可同时精确确定，符合经典直觉。

本文对量子力学的核心概念与算符语言进行了深入浅出的梳理。量子世界的三大基石是波函数的概率诠释、态叠加原理以及测量公设与厄米算符：波函数 $\psi(\mathbf{r},t)$ 本身是概率幅，其模平方 $|\psi(\mathbf{r},t)|^2$ 表示在 $t$ 时刻于 $\mathbf{r}$ 处单位体积内找到粒子的概率密度，波函数需满足单值、连续、有限三个标准条件；态叠加原理表明系统可处于多个状态的线性组合 $$ |\Psi\rangle=c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle,\qquad |c_1|^2+|c_2|^2=1 $$ 测量前系统可同时“是”多种状态，测量时坍缩到某个本征态，得到相应本征值的概率由权重 $|c_n|^2$ 决定；每个物理可观测量对应一个厄米算符，其本征值为实数，本征函数系正交完备。算符工具箱在坐标表象中包括位置算符 $\hat{x}=x$、动量算符 $\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$、动能算符 $\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$、势能算符 $\hat{V}=V(x)$ 以及哈密顿算符 $$ \hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r}) $$ 其中哈密顿算符决定系统总能量与时间演化，求解稳定系统的能级和波函数即求解其本征值问题 $$ \hat{H}\psi=E\psi $$ 此即定态薛定谔方程。

这份量子力学复习资料系统梳理了波函数与基本公设、算符与本征值、薛定谔方程、对易关系与不确定性原理、电子自旋以及微扰理论等核心内容。波函数的模平方表示概率密度，区间概率与归一化条件分别为 $$ P(a,b)=\int_a^b|\psi(x,t)|^2dx,\qquad \int_{\text{all space}}|\psi(\mathbf{r},t)|^2d\tau=1 $$ 态叠加原理下测量结果概率为 $$ P(a_n)=|\langle\phi_n|\Psi\rangle|^2=|c_n|^2 $$ 物理量由厄米算符表示，其本征值为实数、本征函数正交且构成完备集；位置、动量、能量和角动量算符分别为 $\hat{x}=x$、$\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$、$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})$、$\hat{L}_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}$。含时与定态薛定谔方程分别为 $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle=\hat{H}|\Psi(t)\rangle,\qquad \hat{H}|\psi\rangle=E|\psi\rangle $$ 对易子定义为 $$ [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} $$ 基本对易关系、角动量对易关系及不确定性原理分别为 $$ [\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar,\qquad [\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z,\qquad [\hat{L}^2,\hat{L}_i]=0 $$ $$ (\Delta A)^2(\Delta B)^2\ge\left(\frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\right)^2,\qquad \Delta x\Delta p_x\ge\frac{\hbar}{2} $$ 电子自旋满足 $$ \hat{\mathbf{S}}=\frac{\hbar}{2}\hat{\boldsymbol{\sigma}},\qquad \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} $$ 自旋本征值为 $$ \hat{S}^2\Rightarrow s(s+1)\hbar^2=\frac34\hbar^2,\qquad \hat{S}_z\Rightarrow m_s\hbar=\pm\frac{\hbar}{2} $$ 非简并定态微扰的一级和二级能量修正为 $$ E_n^{(1)}=\langle\psi_n^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle=H'_{nn},\qquad E_n^{(2)}=\sum_{k\neq n}\frac{|\langle\psi_k^{(0)}|\hat{H}'|\psi_n^{(0)}\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} $$ 简并情况则需构建微扰矩阵 $$ W_{ij}=\langle\psi_i^{(0)}|\hat{H}'|\psi_j^{(0)}\rangle $$ 并通过对角化求一级能量修正。

本文基于2006—2019年日本大阪市人口与总癌症患病数数据，研究人口增长与患癌人数之间的关系，并将数据划分为三个阶段：2006—2010年正增长正相关阶段、2011—2018年老龄化负相关阶段以及2019年突变阶段。正增长阶段中，人口与患癌人数呈强正相关，Pearson相关系数达 $R=0.97$；老龄化阶段则呈强负相关，$R=-0.97$。据此建立人口指数增长模型 $x(t)=x_0e^{rt}$，正增长阶段拟合为 $x(t)=18{,}853{,}000e^{0.0073t}$，癌症患者模型为 $y(t)=44{,}729e^{0.0424t}$，二者比例满足 $\eta(t)=y(t)/x(t)\approx0.00237e^{0.0351t}$。老龄化阶段人口模型为 $x'(t)=19{,}336{,}011e^{-0.000405t}$，仅用2011—2012年两点数据得到 $y'_1(t)=56{,}814e^{0.017383t}$，但该模型在后期明显低估患癌人数。为此引入老龄化指数 $A(t)=0.25+0.005t$，并建立修正模型 $y(t)=y_0e^{kt}(1+\alpha A(t))$；进一步考虑发病率加速增长，引入二次多项式指数项 $y(t)=y_0e^{c_1t^2+c_2t}(1+\alpha A(t))$，最终拟合得到 $y(t)=56814e^{-0.001352t^2+0.011864t}(1+6.6761A(t))$，预测误差较小。研究表明，人口由正增长转向负增长及年龄结构变化会显著影响总体患癌概率，该模型可在较小数据量下较好预测老龄化阶段的患癌人数。