在量子力学中，物理量由相应的算符描述，而算符的乘法通常不满足交换律。不同算符的作用顺序可能影响最终结果，由此引出了量子力学中重要的代数结构——对易关系。
对易关系不仅能够揭示可观测量之间的数学联系，也是理解角动量代数、共同测量条件以及不确定性原理的重要工具。
不过，需要区分三个相互关联但并不等价的概念：
- 对易关系： 描述算符之间的代数关系。
- 共同测量性： 讨论可观测量能否在量子力学意义下同时测量。
- 不确定性关系： 约束特定量子态中不同可观测量的统计分布。
理解这三个层次，是正确使用对易关系的关键。
一、对易子：衡量算符的交换顺序差
1. 对易子的定义
对于两个算符 $\hat A$ 和 $\hat B$，其对易子（commutator）定义为
$$ \boxed{ [\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A } $$
对任意处于相关算符定义域内的状态 $|\psi\rangle$，有
$$ [\hat A,\hat B]|\psi\rangle = \hat A\hat B|\psi\rangle -\hat B\hat A|\psi\rangle. $$
其中，$\hat A\hat B|\psi\rangle$ 表示先作用 $\hat B$，再作用 $\hat A$；而 $\hat B\hat A|\psi\rangle$ 表示先作用 $\hat A$，再作用 $\hat B$。
因此，对易子比较的是两种算符复合操作的差异。
需要注意，对易子首先是一个算符，而不一定是一个普通数值。只有在特定状态下取期望值，或者对其进行其他适当运算时，才会得到相应的数值结果。
2. 对易与不对易
如果
$$ \boxed{ [\hat A,\hat B]=0 } $$
则称 $\hat A$ 与 $\hat B$ 对易。
如果
$$ \boxed{ [\hat A,\hat B]\ne 0 } $$
则称二者不对易。
对易关系是算符的代数性质，但其物理意义需要结合算符所代表的可观测量、谱结构以及具体测量方式进行判断。
3. 对易子的重要运算恒等式
在相关算符乘积均有定义的条件下，对易子满足以下恒等式。
加法关系：
$$ [\hat A,\hat B+\hat C] = [\hat A,\hat B]+[\hat A,\hat C]. $$
乘积展开公式：
$$ \boxed{ [\hat A,\hat B\hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C +\hat B[\hat A,\hat C] } $$
类似地，
$$ [\hat A\hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] +[\hat A,\hat C]\hat B. $$
反对称性：
$$ [\hat A,\hat B]=-[\hat B,\hat A]. $$
因此，
$$ [\hat A,\hat A]=0. $$
与单位算符的关系：
$$ [\hat A,\hat I]=0. $$
数乘关系：
$$ [\lambda\hat A,\hat B] = \lambda[\hat A,\hat B], $$
其中 $\lambda$ 为普通数值。
这些恒等式是计算位置、动量和角动量等算符对易关系的基本工具。
二、对易关系的物理意义：共同测量与相容性
1. 对易为什么与共同测量有关？
设 $\hat A$ 和 $\hat B$ 是两个可观测量对应的自伴算符。
在有限维量子系统中，如果
$$ [\hat A,\hat B]=0, $$
那么二者可以同时对角化，可以选择一组共同的正交本征态，使两个可观测量在这些状态中同时具有确定值。
例如，若
$$ \hat A|a,b\rangle=a|a,b\rangle, $$
并且
$$ \hat B|a,b\rangle=b|a,b\rangle, $$
则 $|a,b\rangle$ 是两个算符的共同本征态。
在无限维量子系统中，严格的共同测量条件涉及算符的谱投影是否相容。对自伴算符而言，谱投影相容通常称为强对易。在适当的数学条件下，强对易意味着两个可观测量可以进行联合的理想投影测量。
因此，在通常的有限维情形下，对易关系是判断可观测量能否共同对角化的重要依据；在无限维情形下，则需要进一步考虑算符的定义域与谱结构。
2. 对易是否意味着测量一个物理量完全不影响另一个？
不能无条件地这样理解。
对于两个强对易的可观测量，理想的投影测量具有相容的测量结构。先测量其中一个，不会改变另一个可观测量的整体测量概率分布。
但是，如果测量结果对应简并本征值，投影测量仍可能改变系统在该简并子空间内部的状态。因此，测量前后的完整量子态不一定相同。
更准确地说：
强对易意味着两个可观测量具有相容的谱结构和联合测量性质，但不意味着任意测量过程都不会改变系统的量子态。
3. 不对易是否意味着绝对不能同时精确测量？
同样不能作如此绝对的判断。
在有限维空间中，两个不对易的自伴算符不能由同一组完备本征态同时对角化。但它们仍可能具有某些共同本征态。
例如，两个算符可能在部分子空间中具有共同本征态，却无法在整个空间中共同对角化。
因此，不对易通常意味着两个可观测量不具有完整的共同本征态结构，但不能据此断言所有量子态都无法同时具有它们的确定值。
对于某个具体状态，是否能够同时具有确定值，还需要考察该状态是否为两个算符的共同本征态。
三、不确定性原理：对易关系与测量分布的联系
1. 期望值与标准差
对于归一化量子态 $|\psi\rangle$，可观测量 $\hat A$ 的期望值为
$$ \boxed{ \langle A\rangle = \langle\psi|\hat A|\psi\rangle } $$
它表示在大量相同制备的系统上重复测量时，测量结果的统计平均值。
测量结果的标准差定义为
$$ \boxed{ \Delta A = \sqrt{ \langle\hat A^2\rangle -\langle\hat A\rangle^2 } } $$
其中
$$ \langle\hat A^2\rangle = \langle\psi|\hat A^2|\psi\rangle. $$
标准差反映测量结果相对于平均值的统计分散程度。
同理，另一个可观测量 $\hat B$ 的标准差为
$$ \Delta B = \sqrt{ \langle\hat B^2\rangle -\langle\hat B\rangle^2 }. $$
这里的 $\Delta A$ 和 $\Delta B$ 描述的是量子态中测量结果的统计不确定性，而不是普通意义上的仪器误差。
2. 罗伯逊不确定性关系
对于适当定义的自伴算符 $\hat A$ 和 $\hat B$，在相关期望值与方差存在的条件下，罗伯逊不确定性关系为
$$ \boxed{ \Delta A\,\Delta B \geq \frac12 \left| \langle[\hat A,\hat B]\rangle \right| } $$
两边平方后得到
$$ \boxed{ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \frac14 \left| \langle[\hat A,\hat B]\rangle \right|^2 } $$
需要注意绝对值和平方。由于 $\hat A$ 与 $\hat B$ 为自伴算符，它们的对易子在适当定义域上是反自伴的，因此其期望值通常为纯虚数。不能简单地将复数期望值直接平方而忽略其符号与复数性质。
3. 更强的薛定谔—罗伯逊不确定性关系
罗伯逊不等式没有显式包含两个可观测量之间的统计相关性。更完整的关系为
$$ \boxed{ (\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \frac14 \left| \langle[\hat A,\hat B]\rangle \right|^2 + \frac14 \left| \left\langle \{\delta\hat A,\delta\hat B\} \right\rangle \right|^2 } $$
其中
$$ \delta\hat A=\hat A-\langle\hat A\rangle, $$
$$ \delta\hat B=\hat B-\langle\hat B\rangle, $$
而反对易子定义为
$$ \{\hat A,\hat B\} = \hat A\hat B+\hat B\hat A. $$
第二项描述两个可观测量涨落之间的对称关联。
因此，罗伯逊关系给出了由对易子决定的下界，而薛定谔—罗伯逊关系进一步考虑了统计相关性。
4. 为什么不能简单地说“对易子越大，不确定性就越大”？
不确定性下界由对易子的期望值决定，而不是仅仅由对易子作为算符的形式决定。
即使
$$ [\hat A,\hat B]\ne0, $$
也可能在某个状态下有
$$ \langle[\hat A,\hat B]\rangle=0. $$
此时罗伯逊不等式只能给出
$$ \Delta A\,\Delta B\geq0, $$
无法从该不等式推出严格大于零的乘积下界。
因此，不对易本身并不保证每个状态中的两种测量结果都具有严格正的不确定性乘积。必须结合具体量子态进一步分析。
四、经典例子：位置与动量的不确定性关系
1. 位置—动量基本对易关系
在一维坐标表象中，位置算符为
$$ \hat x=x, $$
动量算符为
$$ \hat p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}. $$
对适当光滑且满足相关定义域条件的波函数 $\psi(x)$，有
$$ \begin{aligned} [\hat x,\hat p_x]\psi(x) &= \hat x\hat p_x\psi(x) -\hat p_x\hat x\psi(x)\\ &= -i\hbar x\frac{d\psi}{dx} +i\hbar\frac{d}{dx}(x\psi)\\ &= -i\hbar x\frac{d\psi}{dx} +i\hbar\left( \psi+x\frac{d\psi}{dx} \right)\\ &=i\hbar\psi(x). \end{aligned} $$
因此，
$$ \boxed{ [\hat x,\hat p_x]=i\hbar } $$
其中，$\hbar$ 为约化普朗克常数。
2. 推导海森堡不确定性关系
将位置与动量的对易关系代入罗伯逊不等式：
$$ \Delta x\,\Delta p_x \geq \frac12 \left| \langle[\hat x,\hat p_x]\rangle \right|. $$
由于
$$ \langle[\hat x,\hat p_x]\rangle =\langle i\hbar\hat I\rangle =i\hbar, $$
所以
$$ \boxed{ \Delta x\,\Delta p_x \geq\frac{\hbar}{2} } $$
这就是位置—动量不确定性关系。
它表明，对于满足相关数学条件的量子态，位置分布和动量分布的标准差乘积不能小于 $\hbar/2$。
3. 不确定性原理的物理意义
这一关系不是说人类的仪器不够精密，也不是说测量位置必然会在机械意义上扰乱动量。
其核心含义是：量子态本身不能使位置与动量的统计分布同时具有任意小的标准差。
例如，某些高斯波包能够达到下界：
$$ \Delta x\,\Delta p_x=\frac{\hbar}{2}. $$
这说明不确定性关系不仅是一个限制，也对哪些量子态能够实现最小的不确定性乘积提出了明确条件。
五、重要对易关系速查表
| 关系类型 | 基本公式 | 严谨的物理解释 |
|---|---|---|
| 位置与动量 | $[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ | 给出非零的普适位置—动量不确定性下界 |
| 角动量各分量 | $[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z$ | 各分量构成角动量代数，不能由一组完备本征态同时对角化 |
| 角动量平方与分量 | $[\hat L^2,\hat L_i]=0$ | 角动量平方与任一分量具有相容的谱结构 |
| 自旋各分量 | $[\hat S_x,\hat S_y]=i\hbar\hat S_z$ | 自旋分量满足与角动量相同的代数结构 |
| 轨道角动量与自旋 | $[\hat L_i,\hat S_j]=0$ | 在轨道与自旋自由度的张量积描述中，两类算符作用于不同自由度 |
1. 角动量各分量的对易关系
轨道角动量算符定义为
$$ \hat{\mathbf L} =\hat{\mathbf r}\times\hat{\mathbf p}. $$
其分量为
$$ \hat L_x=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y, $$
$$ \hat L_y=\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z, $$
$$ \hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x. $$
三个分量满足
$$ \boxed{ [\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z } $$
$$ \boxed{ [\hat L_y,\hat L_z]=i\hbar\hat L_x } $$
$$ \boxed{ [\hat L_z,\hat L_x]=i\hbar\hat L_y } $$
同时，定义角动量平方算符
$$ \hat L^2 = \hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2, $$
则有
$$ \boxed{ [\hat L^2,\hat L_x] = [\hat L^2,\hat L_y] = [\hat L^2,\hat L_z] =0 } $$
因此，通常可以选择角动量平方算符 $\hat L^2$ 与某一分量（通常选择 $\hat L_z$）的共同本征态。
但不能据此认为三个角动量分量在整个状态空间中都具有共同的完备本征态组。
2. 自旋角动量
自旋算符同样满足角动量代数：
$$ [\hat S_x,\hat S_y]=i\hbar\hat S_z, $$
$$ [\hat S_y,\hat S_z]=i\hbar\hat S_x, $$
$$ [\hat S_z,\hat S_x]=i\hbar\hat S_y. $$
定义自旋平方算符
$$ \hat S^2 = \hat S_x^2+\hat S_y^2+\hat S_z^2, $$
则
$$ [\hat S^2,\hat S_i]=0, \qquad i=x,y,z. $$
对于自旋为 $1/2$ 的粒子，
$$ \hat S_i=\frac{\hbar}{2}\hat\sigma_i, $$
其中 $\hat\sigma_i$ 为泡利矩阵。
例如，
$$ \hat S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}. $$
其本征值为 $+\hbar/2$ 和 $-\hbar/2$。
3. 轨道角动量与自旋角动量
在轨道与自旋自由度的标准张量积描述中，轨道角动量算符作用于轨道自由度，自旋算符作用于自旋自由度，因此
$$ \boxed{ [\hat L_i,\hat S_j]=0 } $$
其中 $i,j\in\{x,y,z\}$。
这意味着两类算符在该数学结构中具有相容的谱结构。
不过，这不意味着轨道自由度与自旋自由度在所有物理系统中都完全独立。例如，自旋—轨道耦合会使哈密顿算符同时依赖二者，从而影响系统的能级与时间演化。
六、综合应用例题：证明角动量的 z 分量与径向距离平方对易
题目： 证明角动量算符 $\hat L_z$ 与平面径向距离平方算符
$$ \hat\rho^2=\hat x^2+\hat y^2 $$
对易，并解释其物理意义。
第一步：写出所需的基本对易关系
根据轨道角动量定义，
$$ \hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x. $$
利用位置与动量的正则对易关系
$$ [\hat x,\hat p_x]=i\hbar, \qquad [\hat y,\hat p_y]=i\hbar, $$
以及不同坐标分量之间的关系
$$ [\hat x,\hat y]=0, $$
$$ [\hat x,\hat p_y]=0, $$
$$ [\hat y,\hat p_x]=0, $$
可以得到
$$ \boxed{ [\hat L_z,\hat x]=i\hbar\hat y } $$
和
$$ \boxed{ [\hat L_z,\hat y]=-i\hbar\hat x } $$
第二步：展开目标对易子
利用对易子的线性性质，
$$ \begin{aligned} [\hat L_z,\hat\rho^2] &= [\hat L_z,\hat x^2+\hat y^2]\\ &= [\hat L_z,\hat x^2] + [\hat L_z,\hat y^2]. \end{aligned} $$
根据乘积展开公式，
$$ [\hat A,\hat B^2] = [\hat A,\hat B]\hat B +\hat B[\hat A,\hat B], $$
可得
$$ [\hat L_z,\hat x^2] = [\hat L_z,\hat x]\hat x +\hat x[\hat L_z,\hat x]. $$
代入 $[\hat L_z,\hat x]=i\hbar\hat y$：
$$ \begin{aligned} [\hat L_z,\hat x^2] &=(i\hbar\hat y)\hat x +\hat x(i\hbar\hat y)\\ &=i\hbar(\hat y\hat x+\hat x\hat y). \end{aligned} $$
同理，
$$ [\hat L_z,\hat y^2] = [\hat L_z,\hat y]\hat y +\hat y[\hat L_z,\hat y]. $$
代入 $[\hat L_z,\hat y]=-i\hbar\hat x$：
$$ \begin{aligned} [\hat L_z,\hat y^2] &=(-i\hbar\hat x)\hat y +\hat y(-i\hbar\hat x)\\ &=-i\hbar(\hat x\hat y+\hat y\hat x). \end{aligned} $$
第三步：合并并化简
将两项相加：
$$ \begin{aligned} [\hat L_z,\hat\rho^2] ={}&i\hbar(\hat y\hat x+\hat x\hat y)\\ &-i\hbar(\hat x\hat y+\hat y\hat x)\\ ={}&0. \end{aligned} $$
因此，
$$ \boxed{ [\hat L_z,\hat\rho^2]=0 } $$
证明完毕。
第四步：解释物理意义
由于
$$ \rho^2=x^2+y^2 $$
表示粒子到 $z$ 轴的距离的平方，因此该结果说明 $\hat L_z$ 与 $\hat\rho^2$ 具有相容的谱结构，可以在适当的共同本征态中同时确定二者的测量结果。
从几何上看，绕 $z$ 轴的旋转会改变粒子的方位角，却不会改变它到 $z$ 轴的距离。因此，$\rho^2$ 在绕 $z$ 轴的旋转下保持不变。
而 $\hat L_z$ 是绕 $z$ 轴旋转所对应的轨道角动量生成元。二者对易，正体现了径向距离平方对这种旋转具有不变性。
需要注意，对易关系并不意味着任意量子态都具有确定的径向距离和确定的角动量。 它说明的是存在相容的共同测量结构，而某个具体状态是否具有确定的测量结果，仍取决于该状态是否为相应算符的共同本征态。
七、知识框架总结
对易关系与不确定性原理之间的逻辑关系可以整理为：
$$ \boxed{ \begin{gathered} \text{算符代数}\\ \Downarrow\\ \text{对易关系}\\ \Downarrow\\ \text{共同测量结构与不确定性下界}\\ \Downarrow\\ \text{具体量子态中的测量统计} \end{gathered} } $$
其中需要记住以下几点：
- 对易子定义为 $[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A$，用于描述两个算符的代数差异。
- 对易关系与共同测量性密切相关，但无限维系统还需要考虑谱投影与算符定义域。
- 罗伯逊不确定性关系为 $\Delta A\,\Delta B\geq\frac12|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|$，它约束的是特定量子态中的统计分布。
- 对易子非零不意味着所有状态中的不确定性乘积都严格大于零，因为其期望值可能为零。
- 角动量各分量满足非零对易关系，而角动量平方与任一分量对易，因此通常可以同时确定角动量大小与一个选定方向的分量。
- 轨道角动量与自旋角动量在标准张量积描述中对易，但这不意味着二者在所有动力学过程中都不存在相互作用。
掌握这些关系后，便可以进一步将对易代数应用于角动量本征值问题、氢原子能级、对称性与守恒量，以及量子测量理论。
作者：GARFIELDTOM
邮箱：coolerxde@gt.ac.cn