笼目晶格与笼目晶格超导材料

笼目晶格（kagome lattice）是一种由顶点互相连接的三角形构成的二维晶格结构，它在自然界没有直接的对映，是由人类智慧所创造的。这种结构在东方的传统民俗艺术和西方的古老宗教文化中都有体现，例如中国古代的蝈蝈笼子大部分是由竹条编制成的笼目图案。

Figure 1 Cameo patterns photographed at the Chinese Folk Village in Shenzhen

笼目晶格的电子结构包含三个特殊的奇点：狄拉克费米子、平带和范霍夫奇点。狄拉克费米子赋予了能带拓扑性质；平带引入了关联效应，例如磁性；而范霍夫奇点则会导致电子的不稳定性并使之趋于形成长程多体关联电荷序。这些特性使得笼目晶格材料在电子强关联、拓扑以及多体效应方面展现出独特的物理性质。

近年来，笼目晶格超导材料因其新颖的电荷密度波序、手性磁通相、反常霍尔效应、非常规超导电性以及电子向列相和配对密度波等新奇物理现象而受到广泛关注。例如，AV3Sb5 (A=K, Rb和Cs)这类笼目超导体因其独特的电子能带结构和电子关联效应，成为凝聚态物理的研究热点之一。研究笼目晶格超导材料的新奇物理现象对于理解非常规超导机制具有重要意义。科学家们通过高压调控、化学掺杂等手段探索这类材料的超导电性及其与共存有序态的关联，以期揭示非常规超导起源。此外，笼目晶格超导材料的研究还涉及到非平庸拓扑能带和轨道选择性电子向列相等复杂物理现象。

笼目晶格的空间结构推导与能带、动态密度绘制

（一）理论公式推导

Figure 2 Schematic plan view of the structure of the caged lattice material

如图所示，笼目晶格的基元由三个不等价的原子(A、B、C)构成，三个原子排列成一个三角形。A、B、C三个基元按照三角晶格的方式进行排列，紧束缚近似下哈密顿量为：

式中，α和β为子晶格（A、B、C）指标，<i,j>仅考虑最近邻原子间的跃迁，显然，每个原子由四个最近邻原子所包围，不妨假设最近邻原子之间的间距相同且为a0，则有：

且通过对称性可知，对于基元B、C原子的IiB、IiC也是类似的。通过傅里叶变换公式 ，可以得到动量空间中的哈密顿量为：

其中，

由此可以得到，带函数为：

态密度函数为：

基元和基元按照三角晶格的方式进行排列，则该点阵的实空间基矢可取为：

那么有等边三角形的性质及公式，可以求得动量空间的基矢为：

为了方便起见，取等边三角形的边长为单位长度a0=1，即得：

（二）能带及态密度图像绘制

据此可以得到三角晶格的第一布里渊区为一个正六边形，同时据此，我们也可以吧能带一起绘制出来：

Figure 3 3D energy bands (left), E2 top view (centre), E3 top view (right)

Figure 4 Energy band (left) and density of states (right)

引用：

1. 笼目晶体中探索未知量子态 （中国物理学会期刊网）
2. 笼目(Kagome)晶格的能带和态密度 （syr56）