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一、实验目的
- 学习双臂电桥测量低值电阻的原理和方法。
- 用双臂电桥校正电阻箱的低值档。
- 测定金属的电阻率。
二、实验仪器
QJ44型双臂电桥、电阻箱、游标卡尺、螺旋测微计等
三、实验原理
电阻值小于1Ω的低值电阻测量中，导线电阻和接触电阻（量级约 $10^{-2}\ \Omega$）不可忽略，惠斯登电桥无法消除其影响。双臂电桥（开尔文电桥）通过将被测电阻 $R_x$ 和标准电阻 $R_n$ 均接成四端电阻（电流端 $C_1, C_2$；电压端 $P_1, P_2$），并利用附加的 $R_3, R_4$ 桥臂满足 $R_1/R_2 = R_3/R_4$ 条件，使连接电阻 $r$ 的影响趋于消除。
电桥平衡时（检流计示零），被测电阻为：
$$R_x = \frac{R_1}{R_2} R_n$$
式中 $R_1/R_2$ 即为面板上的倍率，$R_n$ 为已知标准低值电阻。
导体电阻率由几何关系给出（圆截面导体）：
$$\rho = R\frac{A}{L} = R\frac{\pi D^2}{4L}$$
式中 $D$ 为导体直径，$L$ 为电压端 $P_1, P_2$ 之间的导体长度，$R$ 为测得的电阻值。
双臂电桥灵敏度定义为：
$$S = \Delta n \bigg/ \frac{\Delta R}{R}$$
其中 $\Delta n$ 为检流计偏离平衡位置的格数，$\Delta R/R$ 为对应的电阻相对变化量。
四、实验步骤
（一）校正电阻箱×0.1Ω档
- 将待测电阻箱的0~0.9Ω接线端接于图中8、10、12的接线柱（四端接法）。
- 将电阻箱各档旋至零，测定零位电阻 $R_0$（旋钮接触电阻，约 $10^{-4}\ \Omega$）。
- 分别将电阻箱旋至0.1~0.9Ω，选择合适倍率，测出对应电阻值 $R_{\text{测}}$，校正值 $R_{\text{校}} = R_{\text{测}} - R_0$。
（二）测定导体电阻率
- 将铜（或铝、铁）导体制成四端电阻，按图4接线，用双臂电桥测出 $P_1, P_2$ 间电阻 $R_x$。
- 用游标卡尺或螺旋测微计在不同部位分别测量导体直径 $D$ 和 $P_1P_2$ 间长度 $L$ 各5次，取平均值。
（三）测定电桥灵敏度
在电桥平衡后，微调 $R_n$，记录检流计偏转格数 $\Delta n$ 及对应的 $\Delta R/R$，计算灵敏度 $S$。
操作注意事项：
- 测有感线圈直流电阻时，应先按"B"后按"G"，断开时先断"G"后断"B"。
- 若检流计满偏，应立即松开"B"键，调好步进值后再按。
- 接线电阻应小于0.01Ω。
- 测量完毕后将"B"开关扳至反向位置，松开"B"和"G"。
五、实验数据处理与分析
5.1 原始数据整理
表1 长度与直径原始数据（螺旋测微计+游标卡尺）
| 样品 | 量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 平均值 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cu | 直径 $D$（mm） | 1.000 | 0.980 | 0.998 | 0.980 | 0.983 | 0.988 |
| 长度 $L$（mm） | 42.00 | 42.10 | 42.00 | 42.00 | 42.00 | 42.02 | |
| Al | 直径 $D$（mm） | 0.900 | 0.850 | 0.780 | 0.770 | 0.790 | 0.818 |
| 长度 $L$（mm） | 55.30 | 55.30 | 55.30 | 55.30 | 55.30 | 55.30 | |
| Fe | 直径 $D$（mm） | 0.900 | 0.850 | 0.780 | 0.770 | 0.790 | 0.818 |
| 长度 $L$（mm） | 34.00 | 34.00 | 34.00 | 34.00 | 34.00 | 34.00 |
表2 电阻测量原始数据
| 样品 | 倍率 | 次数1（Ω） | 次数2（Ω） | 次数3（Ω） | 平均 $\bar{R}$（Ω） |
|---|---|---|---|---|---|
| Cu | ×1 | 0.00111 | 0.00111 | 0.00113 | 0.00111 |
| Al | ×100 | 0.05625 | 0.06250 | 0.05625 | 0.05833 |
| Fe | ×10 | 0.011 | 0.011 | 0.011 | 0.011 |
5.2 不确定度计算
各量 A 类不确定度（Cu 取 $n=5, t=2.776$；Al、Fe 直径同 Cu；$R$ 取 $n=3, t=4.303$）
Cu 直径 $D$（偏差：+0.012, −0.008, +0.010, −0.008, −0.005）：
$$\sigma_D = 0.00995\ \text{mm},\quad \Delta_A = \frac{2.776\times0.00995}{\sqrt{5}} = 0.012\ \text{mm}$$
$$\Delta_B = 0.004\ \text{mm（螺旋测微计）},\quad \Delta_D = \sqrt{0.012^2+0.004^2} = \mathbf{0.013\ \text{mm}}$$
Cu 长度 $L$（偏差：−0.02, +0.08, −0.02, −0.02, −0.02）：
$$\sigma_L = 0.0447\ \text{mm},\quad \Delta_A = 0.056\ \text{mm},\quad \Delta_B = 0.02\ \text{mm}$$
$$\Delta_L = \sqrt{0.056^2+0.02^2} = \mathbf{0.059\ \text{mm}}$$
Al / Fe 直径（同一组数据）：
$$\sigma_D = 0.0554\ \text{mm},\quad \Delta_A = 0.069\ \text{mm},\quad \Delta_D = \sqrt{0.069^2+0.004^2} = \mathbf{0.069\ \text{mm}}$$
电阻 $R$ 的不确定度（仪器准确度等级 0.2%，$\Delta_B = R\times0.2\%$）：
| 样品 | $\Delta_A$（Ω） | $\Delta_B$（Ω） | $\Delta_R$（Ω） | $\Delta_R/R$ |
|---|---|---|---|---|
| Cu | 0.000029 | 0.0000022 | 0.000029 | 2.6% |
| Al | 0.0896 | 0.00012 | 0.0896 | 154% |
| Fe | 0 | 0.000022 | 0.000022 | 0.2% |
Al 的 $\Delta_R/R$ 高达154%，表明三次测量数据严重不一致，测量结果不可靠。
5.3 电阻率计算
$$\rho = R \cdot \frac{\pi D^2}{4L}$$
$$\frac{\Delta\rho}{\rho} = \sqrt{\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^2 + \left(\frac{2\Delta D}{D}\right)^2 + \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2}$$
表3 电阻率计算结果
| 样品 | $R$（Ω） | $D$（mm） | $L$（mm） | $\pi D^2/4L$（m） | $\rho$（Ω·m） | $\Delta\rho/\rho$ | $\Delta\rho$（Ω·m） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cu | 0.00111 | 0.988 | 42.02 | $1.825\times10^{-5}$ | $2.03\times10^{-8}$ | 3.7% | $0.08\times10^{-8}$ |
| Al | 0.05833 | 0.818 | 55.30 | $9.498\times10^{-6}$ | $5.54\times10^{-7}$ | — | 无效 |
| Fe | 0.011 | 0.818 | 34.00 | $1.546\times10^{-5}$ | $1.70\times10^{-7}$ | 16.9% | $0.29\times10^{-7}$ |
最终结果：
$$\rho_{\text{Cu}} = (2.03 \pm 0.08)\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$$
$$\rho_{\text{Fe}} = (1.70 \pm 0.29)\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$$
$$\rho_{\text{Al}} = 5.54\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}\quad\text{（测量无效，见下方分析）}$$
5.4 与理论值对比及误差分析
表4 测量值与理论值对比
| 样品 | 测量值（Ω·m） | 理论值（Ω·m） | 相对误差 | 判断 |
|---|---|---|---|---|
| Cu | $2.03\times10^{-8}$ | $1.72\times10^{-8}$ | +18% | ✓ 合理 |
| Fe | $1.70\times10^{-7}$ | $1.00\times10^{-7}$ | +70% | △ 偏大 |
| Al | $5.54\times10^{-7}$ | $2.65\times10^{-8}$ | +1991% | ✗ 严重错误 |
5.5 Al 测量失效的原因分析
倍率选择错误是根本原因。
核验 Al 的理论电阻值：
$$R_{\text{Al,理论}} = \frac{\rho_{\text{Al}} \cdot 4L}{\pi D^2} = \frac{2.65\times10^{-8}\times4\times0.05530}{\pi\times(0.818\times10^{-3})^2} \approx 2.79\times10^{-3}\ \Omega$$
对照仪器倍率范围表：
| 倍率 | 测量范围（Ω） | Al 理论 R 是否在范围内？ |
|---|---|---|
| ×100 | 1.1～11 | ✗ 严重偏低（低100倍） |
| ×10 | 0.11～1.1 | ✗ 偏低（低10倍） |
| ×1 | 0.011～0.11 | ✗ 偏低（低4倍） |
| ×0.1 | 0.0011～0.011 | ✓ 最合适 |
| ×0.01 | 0.00011～0.0011 | ✓ 可用 |
实验中 Al 使用 ×100 倍率，而其真实电阻约为 0.003 Ω，远低于 ×100 倍率的量程下限（1.1 Ω），电桥在此条件下根本无法正常平衡，测量到的实际上是 接触电阻、引线电阻等寄生电阻之和，与样品无关，结果毫无意义。正常情况下，应选择 ×0.1 倍率，对应量程 0.0011～0.011 Ω，Al 的理论 R（≈0.003 Ω）恰好落在此范围内。但本次实验当中铝可能已经氧化，实际测量的是氧化铝与铝的混合导线。
类似地，Cu 和 Fe 也偏离了最优倍率范围，Cu 误差较小（18%）可能属于偶然准确，Fe 偏差70%则可以考虑合金电阻率高于纯铁，说明实际样品可能为低碳钢，$\rho \approx 1.3\times10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$。
六、讨论与实践
对于平面的导体如何测量？什么是涡流电导仪？双臂电桥而言，如果交换电流端和电压端，会发生什么变化，为什么？
6.1 平面导体测量方法与涡流电导仪
什么是涡流电导仪
涡流电导仪（如图示 Sigma 2008A）基于电磁感应原理工作。其探头内置激励线圈，通以高频交流电后在被测导体表面产生感应涡流；涡流大小受材料电导率影响，反过来改变线圈的阻抗。仪器通过测量阻抗变化，结合校准曲线，直接输出电导率（MS/m 或 %IACS）。
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| 工作频率 | 本仪器 f = 60 kHz（高频对应浅渗透深度） |
| 测量量 | 电导率 σ（MS/m），可换算为电阻率 ρ = 1/σ |
| 适用材料 | 金属导体（铝合金、铜合金、钢等） |
| 优点 | 非接触、快速、无需切割样品 |
涡流电导率与双臂电桥的区别
| 涡流电导仪 | 双臂电桥 | |
|---|---|---|
| 接触方式 | 非接触，探头贴近表面 | 四端接触，需引线夹持 |
| 样品要求 | 表面平整、面积够大 | 需要规则几何形状 |
| 测量量 | 电导率 σ | 电阻 R，再算 ρ |
平面导体的测量要求
涡流电导仪测量平面导体时，需满足以下条件：
① 表面平整度： 探头与被测面间隙（lift-off）需尽量为零且均匀，表面粗糙度过大会引入"提离误差"，Sigma 2008A 内置的 $\sigma_0$ 参数（图中 $\sigma_0 = 0.0038$ 和 $0.0033$）即为提离效应的校正量。
② 最小有效面积： 被测区域直径应大于探头直径的2倍以上（Sigma 2008A 探头直径约12mm，建议测试面积 ≥ 25mm 直径），否则"边缘效应"使涡流在材料边界发生畸变，引起测量偏低。
③ 最小厚度： 样品厚度须大于有效渗透深度 $\delta$：
$$\delta = \sqrt{\frac{1}{\pi f \mu_0 \mu_r \sigma}}$$
在 60 kHz 下，铝的 $\delta \approx 0.3\ \text{mm}$，钢的 $\delta \approx 0.1\ \text{mm}$，因此一般金属样品只要厚度 > 1mm 即可满足。
④ 背面无影响： 背面若有其他导体（金属台面），会干扰涡流分布，测量时应将样品置于绝缘垫上。
6.2 双臂电桥交换电流端与电压端的影响
四端电阻接法的核心意义：
$$R_x = \frac{R_1}{R_2} R_n \quad \text{（平衡条件，连接电阻 r 被消除）}$$
| 端口 | 正常作用 | 特点 |
|---|---|---|
| $C_1, C_2$（电流端） | 通过大电流 | 接触电阻在电流回路中，不影响测量 |
| $P_1, P_2$（电压端） | 测量电压降 | 几乎无电流，接触电阻不影响测量 |
若交换两组端口，将发生：
① 测量长度改变： 正常时测量的是 $P_1$-$P_2$ 段电阻（有效段）；交换后变为测量 $C_1$-$C_2$ 间的总电阻，包含了 $P_1$ 以外的多余导体段，有效长度增大，测量结果偏高。
② 接触电阻重新进入测量： 原来 $P_1, P_2$ 的接触电阻很小、无电流不影响结果；交换后它们变成电流端，其接触电阻 $r_{P_1}, r_{P_2}$ 直接串入被测回路，导致额外误差。
③ 电桥灵敏度下降： 被测电阻增大后，若不重新选择倍率，电桥可能偏离最佳工作范围。
④ 对低值电阻影响最致命： 接触电阻量级为 $10^{-4}\ \Omega$，对于被测 $R_x \sim 10^{-3}\ \Omega$ 的样品，引入误差可达 10%～100%，这正是四端法存在的意义所在。
6.3 两颗 M10×20 外六角螺栓的涡流电导率分析
▲ 螺栓 1
▲ 螺栓 2
读数整理
| 螺栓1 | 螺栓2 | |
|---|---|---|
| 仪器型号 | Sigma 2008A | Sigma 2008A |
| 工作频率 | 60 kHz | 60 kHz |
| 测量温度 | 20°C | 20°C |
| 提离校正 $\sigma_0$ | 0.0038 | 0.0033 |
| 电导率 σ | 13.43 MS/m | 24.83 MS/m |
材料判断
将测量值与常见金属电导率对照：
| 材料 | 电导率（MS/m） | %IACS |
|---|---|---|
| 纯铜 | 58.0 | 100% |
| H62黄铜 | 14～16 | 24～28% |
| 螺栓1（13.43） | 13.43 | 23.2% |
| Al 6061-T6 | ~25 | 43% |
| 螺栓2（24.83） | 24.83 | 42.8% |
| Al 2024-T3 | ~17.7 | 30.5% |
| 碳钢 | 5～10 | 8～17% |
| 304不锈钢 | ~1.4 | 2.4% |
结论：
螺栓1（σ = 13.43 MS/m）： 与H59/H62黄铜（黄铜螺栓，表面呈金黄色）的典型电导率（14～16 MS/m）接近，略低可能由于成分偏差或表面氧化层影响，判断为铜锌合金（黄铜）螺栓。
螺栓2（σ = 24.83 MS/m）： 与 6061-T6 铝合金（25.0 MS/m，43% IACS）几乎完全吻合，判断为6061铝合金螺栓。
测量局限性分析
对 M10×20 外六角螺栓进行涡流测量存在以下问题：
① 测量面积不足： M10螺栓头部对角距离约17mm，探头有效测量面需 ≥ 25mm，螺栓头面积偏小，边缘效应不可忽视，实测值可能系统偏低。
② 表面曲率： 六角头平面虽较平整，但面积仍受限，且不同测量位置（六角面中央 vs 边缘）结果可能略有差异。
③ 表面处理： 若螺栓有镀层（镀锌、发黑、镀铬等），镀层导电性与基材不同，探头实测的是两者的综合响应，渗透深度约0.1～0.3mm，镀层厚度若 < δ，基材仍会影响结果。
④ 零件几何对比涡流电导仪的标准测试要求：
| 要求 | 标准 | M10×20螺栓 | 评估 |
|---|---|---|---|
| 最小平面直径 | ≥ 25mm | ~17mm | ✗ 偏小 |
| 最小厚度 | ≥ 1mm | ~6.4mm（头高） | ✓ 满足 |
| 表面粗糙度 | Ra < 3.2μm | 一般满足 | ✓ |
| 边缘距离 | ≥ 12mm | 不足 | △ |
因此本次测量结果可作为定性判断材料类型的参考，若需精确电导率值，建议将螺栓材料制成标准平板样品后再测。
作者：GARFIELDTOM
邮箱：coolerxde@gt.ac.cn